2019年【通用版】中考数学专题提升(12)与圆的切线有关的计算与证明(含答案)

发布于:2021-09-28 16:45:42

数学精品复*资料 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】
如图 Z12-1,⊙O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P,C 为切点,若∠P =30°,⊙O 的半径为 1,则 PB 的长为__1__.

图 Z12-1

经典母题答图

【解析】 如答图,连结 OC.

∵PC 为⊙O 的切线,∴∠PCO=90°,

在 Rt△OCP 中,∵OC=1,∠P=30°,

∴OP=2OC=2,

∴PB=OP-OB=2-1=1.

【思想方法】 (1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径;(2)已知圆

的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直.

【中考变形】

[2017·天津]已知 AB 是⊙O 的直径,AT 是⊙O 的切线,∠ABT=50°,BT 交

⊙O 于点 C,E 是 AB 上一点,延长 CE 交⊙O 于点 D.

(1)如图 Z12-2①,求∠T 和∠CDB 的大小;

(2)如图②,当 BE=BC 时,求∠CDO 的大小.

图 Z12-2 解:(1)如答图①,连结 AC, ∵AT 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径, ∴AT⊥AB,即∠TAB=90°, ∵∠ABT=50°,∴∠T=90°-∠ABT=40°, 由 AB 是⊙O 的直径,得∠ACB=90°, ∴∠CAB=90°-∠ABC=40°,∴∠CDB=∠CAB=40°;

中考变形答图①

中考变形答图②

(2)如答图②,连结 AD,

在△BCE 中,BE=BC,∠EBC=50°,

∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°,

∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=65°,

∵∠ADC=∠ABC=50°,

∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=65°-50°=15°.

【中考预测】

[2017·宿迁]如图 Z12-3,AB 与⊙O 相切于点 B,BC 为⊙O 的弦,OC⊥OA,

OA 与 BC 相交于点 P.

(1)求证:AP=AB;

(2)若 OB=4,AB=3,求线段 BP 的长.

图 Z12-3

中考预测答图

解:(1)证明:∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,

∵AB 是⊙O 的切线,∴OB⊥AB, ∴∠OBA=90°,∴∠ABP+∠OBC=90°, ∵OC⊥AO,∴∠AOC=90°, ∴∠OCB+∠CPO=90°,∵∠APB=∠CPO, ∴∠APB=∠ABP,∴AP=AB; (2)如答图,作 OH⊥BC 于 H.在 Rt△OAB 中,∵OB=4,AB=3,

∴OA= 32+42=5,∵AP=AB=3,

∴PO=2.

在 Rt△POC 中,PC= OC2+OP2=2 5,

∵12PC·OH=12OC·OP, ∴OH=OPP·COC=4 5 5,

∴CH= OC2-OH2=8 5 5,

∵OH⊥BC,∴CH=BH,∴BC=2CH=165 5,

∴BP=BC-PC=165 5-2

5=6

5

5 .

类型之二 与切线的判定有关的计算或证明

【经典母题】

已知:如图 Z12-4,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点 C,点 B 在圆

上,且 AB=BC,∠A=30°,求证:直线 AB 是⊙O 的切线.

图 Z12-4

经典母题答图

证明:如答图,连结 OB,

∵OB=OC,AB=BC,∠A=30°,

∴∠OBC=∠C=∠A=30°,

∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.

∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A)=180°-(60°+30°)=90°,

∴AB⊥OB,又∵OB 为⊙O 半径,∴AB 是⊙O 的切线. 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径,证垂直”或者“作垂 直,证半径”. 【中考变形】 1.[2016·黄石]如图 Z12-5,⊙O 的直径为 AB,点 C 在圆周上(异于 A,B),AD ⊥CD. (1)若 BC=3,AB=5,求 AC 的值; (2)若 AC 是∠DAB 的*分线,求证:直线 CD 是⊙O 的切线.

图 Z12-5

中考变形 1 答图

解:(1)∵AB 是⊙O 直径,C 在⊙O 上,

∴∠ACB=90°,又∵BC=3,AB=5,

∴由勾股定理,得 AC=4;

(2)证明:如答图,连结 OC,

∵AC 是∠DAB 的*分线,

∴∠DAC=∠BAC,

又∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°,

∴△ADC∽△ACB,∴∠DCA=∠CBA,

又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,

∵∠OAC+∠OBC=90°,∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,

∴直线 CD 是⊙O 的切线.

2.[2017·南充]如图 Z12-6,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径作⊙O

交 AB 于点 D,E 为 BC 的中点,连结 DE 并延长交 AC 的延长线点 F.

(1)求证:DE 是⊙O 的切线;

(2)若 CF=2,DF=4,求⊙O 直径的长.

图 Z12-6

中考变形 2 答图

【解析】 (1)连结 OD,欲证 DE 是⊙O 的切线,需证 OD⊥DE,即需证∠ODE

=90°,而∠ACB=90°,连结 CD,根据“等边对等角”可知∠ODE=∠OCE

=90°,从而得证;

(2)在 Rt△ODF 中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.

解:(1)证明:如答图,连结 OD,CD.

∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ADC=90°.

∴∠BDC=90°.又∵E 为 BC 的中点, ∴DE=12BC=CE,∴∠EDC=∠ECD. ∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.

∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.

∴∠ODE=90°,∴DE 是⊙O 的切线;

(2)设⊙O 的半径为 x.在 Rt△ODF 中,OD2+DF2=OF2,

即 x2+42=(x+2)2,解得 x=3.∴⊙O 的直径为 6.

【中考预测】

如图 Z12-7,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,∠A=2∠BCD,点 E

在 AB 的延长线上,∠AED=∠ABC.

(1)求证:DE 与⊙O 相切;

(2)若 BF=2,DF= 10,求⊙O 的半径.

图 Z12-7

中考预测答图

解:(1)证明:如答图,连结 OD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠A+∠ABC=90°, ∵∠BOD=2∠BCD,∠A=2∠BCD, ∴∠BOD=∠A, ∵∠AED=∠ABC,∴∠BOD+∠AED=90°, ∴∠ODE=90°,即 OD⊥DE,∴DE 与⊙O 相切; (2)如答图,连结 BD,过点 D 作 DH⊥BF 于点 H. ∵DE 与⊙O 相切,∴∠ACD+∠BCD=∠ODB+∠BDE=90°, ∵∠ACD=∠OBD,∠OBD=∠ODB,∴∠BDE=∠BCD, ∵∠AED=∠ABC,∴∠AFC=∠DBF, ∵∠AFC=∠DFB,∴△ACF 与△FDB 都是等腰三角形, ∴FH=BH=12BF=1,∴HD= DF2-FH2=3, 在 Rt△ODH 中,OH2+DH2=OD2,即(OD-1)2+32=OD2, ∴OD=5.即⊙O 的半径是 5.


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