彻底理解DFT性质(第三章离散傅里叶变换(3.2~3.7)学*笔记)

发布于:2021-09-28 19:05:12



文章目录
1、DFT的定义2、DFT的对称性3、DFT的幅度值4、DFT的横坐标分辨率5、DFT的移位定理6、IDFT的公式


1、DFT的定义



这里再次提醒,用指数形式来表示DFT,会非常方便我们证明DFT的对称性,所以欧拉发明的指数形式,只是一个工具而已,千万不要被吓到。
https://blog.csdn.net/ciscomonkey/article/details/84325146


2、DFT的对称性

虽然标准的DFT被设计为了接受复输入序列,但是多数物理DFT输入(如某一连续信号数字化的数值)却还是实数(相当于实际的输入有非零实样值,虚部为0)。当输入序列x(n)是实数时,从m=1到m=(N/2)-1的复DFT输出值对于m>(N/2)来说是冗余的。第m个DFT输出将于第N-m个DFT输出有相同的幅度。DFT的第m个输出相位角是第N-m个DFT输出相位角的负值。
实数部分具有偶对称,虚数部分具有奇数对称,当DFT输入序列是实数时,X(m)是X(N-m)的复共轭,即X(m)=X*(N-m)



3、DFT的幅度值

当一个实输入信号是由小于采样率Fs一半的频率、峰值幅度A0,N个分布在整数个周期上的正弦波分量的样值组成时,令对应于该特定正弦波的输出DFT的幅度是M,则
M=A0*N/2


这意味着对于实数输入序列,硬件存储器必须能够容纳输入样值最大振幅N/2倍的数值
下图1000个点做1000个点的DFT,所以,得到幅度值为11000/2=500

如果输入实复数正弦曲线,且有N个样值分布在整数个周期上,那么对于该特定的正弦波的DFT的幅度为:
Mc=A0
N
所以,DFT结果的幅度正比于N


4、DFT的横坐标分辨率

仅仅需要记住DFT横坐标的分辨率频率是Fs/N


5、DFT的移位定理

如果对周期序列做出时移操作,则相对应的DFT输出将发生恒定的相移变化。这个很好理解,公式我就不必给出了,大多数课本上都有,而且我们有了matlab后,也无需记住这些公式。我们知道频率通过一串序列就可以探测出来了,而时间移动只是同样的频率信号进行延时而已,所以频率是固定的,不会改变的,那么自然影响的就是我们的相位啦。


6、IDFT的公式

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